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Conjunto de propiedades

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Relación de igualdad

Veremos ahora en que condiciones podemos decir que dos conjuntos son iguales, esto lo haremos a través de la relación de igualdad entre conjuntos.

Observa los conjuntos  y , definidos así:  y .

¿Consideras que los conjuntos  y  son iguales?  Antes de contestar esta pregunta necesitas tener criterios para poder responder adecuadamente.

Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.  Una forma práctica de establecer si dos conjuntos son iguales es determinar si secontienen el uno al otro.

Por ejemplo, para verificar si los conjuntos  y  de la imagen son iguales, debemos verificar si   y además si .

¿Es cierto que cada elemento de  está en , y que cada elemento de  está en ?  Como puedes ver la respuesta a esta pregunta es afirmativa, decimos entonces que  es igual a  y lo notamos así: .

Fíjate que no importó que algunos elementos estuvieran repetidos, o en que orden estuvieran presentados los elementos.  Resultaría igual escribir por ejemplo  que   o que  es decir: .

Si se da el caso que dos conjuntos no son iguales usamos el símbolo .  De esta manera la expresión  debe ser leída como “ es diferente a ”, o “ y  no son iguales”.

Relación de contenencia

Existen distintos dos tipos de relaciones entre conjuntos.  En esta lección aprenderás la de contenencia.

Relación de contenencia y subconjuntos

Definamos como  y  los conjuntos que se muestran en el siguiente diagrama de Venn:

Como te puedes dar cuenta, cada elemento que pertenece al conjunto  pertenece también al conjunto   Cuando se da esta situación decimos que un  conjunto estácontenido en el otro, o que es un subconjunto del otro.

En este caso  está contenido en  o lo que es igual,  es subconjunto de   La manera correcta de representar la relación de contenencia es dibujar un conjunto dentro del otro.  Para el caso de los conjuntos  y  definidos anteriormente, la representación correcta es como se muestra en la figura de abajo.

También es posible representar de forma escrita la relación de contenencia entre conjuntos.  Se usa el símbolo que se muestra en la figura de abajo a la izquierda como el símbolo de la contenencia.  Si queremos representar la no contenencia de conjuntos, usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea como se muestra en la figura de abajo a la derecha.

Definamos los conjuntos ,  y .  ¿Crees que existe alguna relación de contenencia entre estos conjuntos?

 Fíjate bien, recuerda que un conjunto está contenido en otro si cada uno de sus elementos pertenece también al otro conjunto.  En este caso cada elemento del conjunto  pertenece también al conjunto , decimos entonces que  está contenidoen  o que  es subconjunto de .

¿Crees que el conjunto  está contenido en el conjunto ?  Si observas con atención, notarás que hay un elemento de  que no está en .  Es decir, no se cumple que cada elemento de  esté también en .  Se puede asegurar entonces que  no está contenido en , o lo que es igual, que  no es subconjunto de 

Para representar estas relaciones a través del símbolo de contenencia se escribe de la manera que puedes ver en la figura de abajo.  Estas expresiones se leen así: “ está contenido en ”, o “ es subconjunto de ”, y “ no está contenido en ”, o “ no es subconjunto de ”.

Es importante aprender a representar gráficamente la relación de contenencia entre conjuntos.  Para el caso de nuestros conjuntos ,  y , se pueden representar de la siguiente manera:

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa.

Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:

·         Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como:

{\displaystyle x\in A\quad \longrightarrow } x pertenece a A.

{\displaystyle x\notin A\quad \longrightarrow } x no pertenece a A.

·         Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos

{\displaystyle A=B\quad \longrightarrow } A es igual a B.

{\displaystyle A\neq B\quad \longrightarrow } A no es igual a B.

·         Inclusión. Dado un conjunto A, subcolección del conjunto B o igual a éste, sus elementos son un subconjunto de B, y se indica como:

{\displaystyle A\subseteq B\quad \longrightarrow }A es un subconjunto de B.

{\displaystyle A\nsubseteq B\quad \longrightarrow } A no es subconjunto de B.

El conjunto vacío es el conjunto sin ningún elemento, y se denota por ∅ o por {}. El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado. Por ejemplo, si se estudian los números naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos ellos, ℕ. De manera general, el conjunto universal se denota por U.

Ejemplos

·         Cada número natural es elemento del conjunto ℕ = {1, 2, 3, ...} de los números naturales: 1 ∈ ℕ, 2 ∈ ℕ, etc. Cada número par es también un número natural, por lo que el conjunto P de los números pares, P = {2, 4, 6, ...}, es un subconjunto de ℕ: P ⊆ ℕ.

·         Dado el conjunto de letras V = {o, i, e, u, a}, se cumple por ejemplo que a ∈ V o también i ∈ V. El conjunto de letras U = { vocales del español } contiene los mismos elementos que V, por lo que ambos conjuntos son iguales, V = U.

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

·         Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.

·         Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

·         Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

·         Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene los elementos de A y B que no son comunes.

·         Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.

·         Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

Propiedades

Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números naturales. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.

Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.